Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下命題：

①異面直線C1P與B1C所成的角為定值；

②二面角P－BC1－D的大小為定值；

③三棱錐D－BPC1的體積為定值；

④異面直線A1P與BC1間的距離為定值．

其中真命題的個數為________．

Answer 1

【答案】4

【解析】對于①，因為在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，

在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，

所以這兩個異面直線所成的角為定值90°，故①正確；

對于②，因為二面角P－BC1－D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角，

而這兩個平面為固定不變的平面，

所以夾角也為定值，故②正確；

對于③，三棱錐D－BPC1的體積還等于三棱錐P－DBC1的體積，

而△DBC1面積一定，

又因為P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，

所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離，

所以三棱錐的體積為定值，故③正確；

對于④，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1，

平面BCC1B1中，且這兩個平面平行，

由異面直線間的距離定義及求法，

知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，

所以這兩個異面直線間的距離為定值，故④正確．

綜上知，真命題的個數為4.