Question

【題目】已知一元二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，其中一個公共點的坐標為（c，0），且當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．

（1）當a=1，時，求出不等式f（x）＜0的解；

（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；

（3）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)．(2)；(3)．

【解析】

（1）由韋達定理和題中所給條件可解得函數的兩個零點，進而可解得不等式f（x）＜0的解；（2）由韋達定理及函數過（c，0），可解不等式；（3）表示出以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積，利用基本不等式求得a的取值范圍．

（1）當a=1，時，，f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，

∵，設另一個根為x2，則，∴x2=1，

則f（x）＜0的解集為．

（2）f（x）的圖象與x軸有兩個交點，

∵f（c）=0，

設另一個根為x2，則，

又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則，

∴f（x）＜0的解集為；

（3）由（2）的f（x）的圖象與坐標軸的交點分別為，

這三交點為頂點的三角形的面積為，

∴，

當且僅當c=4時，等號成立，

故．