Question

【題目】某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數y＝ (其中a，b為常數)模型．

(1)求a，b的值；

(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.

①請寫出公路l長度的函數解析式f(t)，并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，2.5），將其分別代入y＝建立方程組，即可求a，b的值；（2）①求出切線l的方程，可得A，B的坐標，即可寫出公路l長度的函數解析式f（t），并寫出其定義域；②設g(t)＝t2＋利用導數，確定單調性，即可求出當t為何值時，公路l的長度最短，并求出最短長度．

試題解析：

(1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20,2.5)．

將其分別代入y＝，

得解得，

(2)①由(1)知，y＝ (5≤x≤20)，

則點P的坐標為，設在點P處的切線l交x，

y軸分別于A，B點，y′＝－，

則l的方程為

y－＝－ (x－t)，

由此得A，B.

故f(t)＝＝ ，t∈[5,20]．

②設g(t)＝t2＋，則g′(t)＝2t－.

令g′(t)＝0，解得t＝10.

當t∈(5,10)時，g′(t)<0，g(t)是減函數；

當t∈(10，20)時，g′(t)>0，g(t)是增函數．

從而，當t＝10時，函數g(t)有極小值，也是最小值，

所以g(t)min＝300，此時f(t)min＝15.

答　當t＝10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米．