Question

【題目】已知點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線與半徑交于點,當點在圓上運動時,

(1)求點的軌跡的方程;

(2)過作直線與曲線相交于兩點, 為坐標原點,求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）當且僅當時, 有最大值.

【解析】試題分析：（1）根據垂直平分線性質得，從而可得,再根據橢圓定義確定軌跡及其方程（2）先設直線點斜式方程，與橢圓聯立方程組結合韋達定理可得，再根據的面積公式可得關于k的分式函數，最后利用基本不等式求最值

試題解析：(1)由已知線段的垂直平分線與半徑交于點,

所以,而,

所以,因此點的軌跡是以為焦點,

長軸長為4的橢圓,所以所以的軌跡的方程是;

(2)設直線的方程是

將直線的方程代入曲線的方程可得,

顯然,且,,

=====,

而,

因此當且僅當時, 有最大值.