Question

（滿分16分）記函數f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數圖象上的不動點。

（1）若函數的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求應滿足的條件；

（2）下述結論“若定義在Ｒ上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明。

Answer 1

解：（1）由，  …………………………………………2分

整理得   （*）……………………………………4分

由題意知方程（*）有兩個互為相反數的根，所以即………6分

，，……………………………………………………8分

故應滿足且……………………………………………………10分

（2）結論正確。……………………………………………………12分

證明：為奇函數，，取，得，即（0,0）為函數的一個不動點，設函數除0以外還有不動點，則

又，故也為函數的不動點。………………………………14分

綜上，若定義在R上的奇函數圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個。

例如：。……………………………………………………………………16分