Question

（滿分16分）

記函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點。

（1）若函數(shù)的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，求應(yīng)滿足的條件；

（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）證明略

【解析】

解：（1）由，  …………………………………………2分

整理得   ……………………………………4分

由題意知方程（*）有兩個互為相反數(shù)的根，所以即………6分

，，……………………………………………………8分

故應(yīng)滿足且……………………………………………………10分

（2）結(jié)論正確。……………………………………………………12分

證明：為奇函數(shù)，，取，得，

即（0,0）為函數(shù)的一個不動點，設(shè)函數(shù)除0以外還有不動點，

則

又，故也為函數(shù)的不動點。…………………14分

綜上，若定義在R上的奇函數(shù)圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數(shù)個。

例如：。…………………………………………………16分