Question

袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是

1

3

，從B中摸出一個(gè)紅球的概率是

2

3

．現(xiàn)從兩個(gè)袋子中有放回的摸球•
（I）從A中摸球，每次摸出一個(gè)，共摸5次．求：
（i）恰好有3次摸到紅球的概率；
（ii）設(shè)摸得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的期望；
（Ⅱ）從A中摸出一個(gè)球，若是白球則繼續(xù)在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球，若從袋子B中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復(fù)摸球3次，計(jì)摸出的紅球的次數(shù)為Y，求Y的分布列以及隨機(jī)變量Y的期望．

Answer 1

分析：（I）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到答案．
（II）由題意知計(jì)摸出的紅球的次數(shù)為Y，隨機(jī)變量Y的取值為0，1，2，3；由獨(dú)立試驗(yàn)概率公式得到概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）由題意知本題是在相同的條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件發(fā)生的概率相同，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到，恰好有3次摸到紅球的概率：C₅³×（

1

3

）³×（

2

3

）²=

40

243

．
（ii）由題意知從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到：X～B（5，

1

3

），
∴EX=5×

1

3

=

5

3

．
（II）∵隨機(jī)變量Y的取值為0，1，2，3；且：
P（Y=0）=（1-

1

3

）³=

8

27

；
P（Y=1）=

1

3

×（

1

3

）²+（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

+

1

3

×（1-

1

3

）²=

7

27

；
P（Y=2）=

1

3

×（1-

1

3

）²+（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

+

1

3

×（1-

1

3

）²=

10

27

；
P（Y=3）=（1-

1

3

）×

1

3

×

1

3

=

2

27

；
隨機(jī)變量Y的分布列是：

∴Y的數(shù)學(xué)期望是EY=

11

9

．

點(diǎn)評：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．