Question

【題目】如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD， ，M為PC的中點，N點在AB上且.

(1)證明：MN∥平面PAD；

(2)求直線MN與平面PCB所成的角．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）過點M作ME∥CD交PD于E點，則根據平幾知識可得AEMN為平行四邊形，即EM∥AN，再根據線面平行判定定理證結論（2）過N點作NQ∥AP交BP于點Q， NF⊥CB于點F，則易得面NQF垂直平面PCB，再過N點作NH⊥QF于點H，由面面垂直性質定理得NH⊥平面PBC，因此可得∠NMH為直線MN與平面PCB所成角，最后解三角形得直線MN與平面PCB所成的角．

試題解析：證明 (1)過點M作ME∥CD交PD于E點，連接AE，

∵AN＝NB，∴AN＝AB＝DC＝EM，

又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，

∴四邊形AEMN為平行四邊形，∴MN∥AE，

又∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.

(2)過N點作NQ∥AP交BP于點Q，

NF⊥CB于點F，連接QF，過N點作NH⊥QF于點H，

連接MH，易知QN⊥平面ABCD，

∴QN⊥BC，又NF⊥BC，NF∩QN＝N，NF平面QNF，QN平面QNF，

∴BC⊥平面QNF，∴BC⊥NH，

∵NH⊥QF，BC∩QF＝F，BC平面PBC，QF平面PBC，∴NH⊥平面PBC，

∴∠NMH為直線MN與平面PCB所成角，

通過計算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，

∴NH＝＝＝，

∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°，∴直線MN與平面PCB所成角為60°.