Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）當時，求函數在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若函數有兩個極值點，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時， 的單調遞增區間是，當時， 的單調遞增區間是， ，單調遞減區間是 ；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求當a=2時，函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；（Ⅱ）求出f（x）的導數，令f'（x）=0，得2x2-2x+a=0，對判別式討論，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；（Ⅲ）函數f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，由（Ⅱ）可得不等式f（x1）≥mx2恒成立即為即為，令求出導數，判斷單調性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

試題解析：（Ⅰ）因為當時， ，所以.

因為，所以切線方程為.

（Ⅱ）因為，令，即.

（ⅰ）當，即時， ，函數在上單調遞增；

（ⅱ）當，即時，由，得，

① 若，由，得或；

由，得；

此時，函數在上遞減，在上遞增；

②若，則，函數在上遞減，在上遞增；

③若，則函數在上遞減，在上遞增.

綜上，當時，函數的增區間為在，無減區間；

當時， 的單調遞增區間是；

單調遞減區間是；

當時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函數有兩個極值點，則.

因為，

所以.

因為，所以，

因為 ，

所以.

設，則.

因為，且，

在上單調遞減，則，所以.