Question

【題目】函數f(x)＝x3－kx，其中實數k為常數．

(1)當k＝4時，求函數的單調區間；

(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝k只有一個交點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間是(－∞，－2)，(2，＋∞)；單調遞減區間是(－2,2)．(2) k<.

【解析】試題分析：（1）將參數值代入得到表達式，求導，研究導函數的正負情況，得到單調性。（2）構造函數g(x)＝f(x)－k，研究這個函數的單調性，使得這個函數和軸有且只有一個交點等價于g(－)<0，解出k的范圍即可。

解析：

(1)因為f′(x)＝x2－k，

當k＝4時，f′(x)＝x2－4，

令f′(x)＝x2－4＝0，

所以x1＝2，x2＝－2.

f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，－2)，(2，＋∞)；單調遞減區間是(－2,2)．

(2)令g(x)＝f(x)－k，由題意知，g(x)只有一個零點．

因為g′(x)＝f′(x)＝x2－k.

當k＝0時，g(x)＝x3，

所以g(x)只有一個零點0.

當k<0時，g′(x)＝x2－k>0對x∈R恒成立，所以g(x)單調遞增，所以g(x)只有一個零點．

當k>0時，令g′(x)＝f′(x)＝x2－k＝0，解得x1＝或x2＝－.

g′(x)，g(x)隨x的變化情況如下表：

x	(－∞，－ )	－	(－， )		(，＋∞)
g′(x)	＋	0	－	0	＋
g(x)	?	極大值	?	極小值	?

g(x)有且僅有一個零點等價于g(－)<0，即k－k<0，解得0<k<.

綜上所述，k的取值范圍是k<.