Question

【題目】在如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，底面ABFE為直角梯形，∠ABF為直角， ， 平面ABCD⊥平面ABFE．

（1）求證：DB⊥EC；
（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵底面ABFE為直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°，

∴AE⊥AB，BF⊥AB，

∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，

∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，

設AE=t，以BA，BF，BC所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖坐標系，

則B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（1，t，0）

∵ =0，∴DB⊥EC

（2）解：由（1）知 是平面BEF的一個法向量，

設 =（x，y，z）是平面CEF的一個法向量，

AE=AB=1，E（1，1，0），F（0，2，0），

∴ =（1，1，﹣1）， =（0，2，﹣1），

則 ，取z=2， =（1，1，2），

∴cos＜ ＞= = ，

即二面角C﹣EF﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出AE⊥AB，BF⊥AB，從而BF⊥BC，設AE=t，以BA，BF，BC所在的直線分別為x，y，z軸坐標系，利用向量法能證明DB⊥EC．（2）求出平面BEF的一個法向量和平面CEF的一個法向量，利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值．