Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設＝t，求實數t的值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）t＝2或t＝

(1)設橢圓C的方程為＝1(a＞b＞0)，
由題意知解得 
因此橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)(ⅰ)當A，B兩點關于x軸對稱時，設直線AB的方程為x＝m.
由題意得－＜m＜0或0＜m＜.
將x＝m代入橢圓方程＋y²＝1，得|y|＝.
所以S_△AOB＝|m|·＝.解得m²＝或m²＝.①
因為＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，
又P為橢圓C上一點，所以＝1.②
由①②，得t²＝4或t²＝，
又t＞0，所以t＝2或t＝.
(ⅱ)當A，B兩點關于x軸不對稱時，設直線AB的方程為y＝kx＋h.
將其代入橢圓的方程＋y²＝1，得
(1＋2k²)x²＋4khx＋2h²－2＝0.設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由判別式Δ＞0可得1＋2k²＞h²，
此時x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2h＝，
所以|AB|＝.
因為點O到直線AB的距離d＝，
所以S_△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.
又S_△AOB＝，所以××|h|＝.③
令n＝1＋2k²，代入③整理得3n²－16h²n＋16h⁴＝0.
解得n＝4h²或n＝h²，即1＋2k²＝4h²或1＋2k²＝h².④
因為＝t＝t(＋)＝t(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝，
又P為橢圓C上一點，
所以t²＝1，即＝1.⑤
將④代入⑤，得t²＝4或t²＝.
又t＞0，故t＝2或t＝.
經檢驗，適合題意．
綜合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝