Question

已知雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合,且該橢圓的長軸長為,是橢圓上的的動點.
（1）求橢圓標準方程；
（2）設動點滿足：，直線與的斜率之積為，求證：存在定點，
使得為定值，并求出的坐標；
（3）若在第一象限，且點關于原點對稱，點在軸的射影為，連接 并延長交橢圓于
點，求證：以為直徑的圓經過點.

Answer 1

（1）；（2）存在;（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合求出橢圓中的，再由，求出所求橢圓方程為；（2）先設，由,結合橢圓的標準方程可以得到使得為定值；（3）要證明以為直徑的圓經過點，就是證明,詳見解析.
試題解析：（1）解：由題設可知：雙曲線的焦點為，
所以橢圓中的
又由橢圓的長軸為4得
故 
故橢圓的標準方程為： 
（2）證明：設，由可得：

由直線與的斜率之積為可得：
 ，即 
由①②可得：…6分
M、N是橢圓上，故
故，即 
由橢圓定義可知存在兩個定點，使得動點P到兩定點距離和為定值;
（3）證明：設
由題設可知 
由題設可知斜率存在且滿足.……③
 
將③代入④可得：…⑤  
點在橢圓，故 
所以 
因此以為直徑的圓經過點.