Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0).
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程.
(2)在(1)的條件下,設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.
(3)過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

Answer 1

(1) +y²=1  (2) k∈(-2,-)∪(,2)  (3) +=1

(1)由已知2a=4,∴a=2,
又e==,∴c=.
因此,b²=a²-c²=4-3=1,
∴橢圓的標準方程為+y²=1.
(2)顯然直線x=0不滿足題設條件,
可設直線l:y=kx+2,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
由消去y得(1+4k²)x²+16kx+12=0.
∵Δ=(16k)²-4×12(1+4k²)>0,
∴k∈(-∞,-)∪(,+∞)　①
又x₁+x₂=,x₁x₂=,
由0°<∠AOB<90°⇒·>0,
∴·=x₁x₂+y₁y₂>0,
所以·=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+(kx₁+2)(kx₂+2)
=(1+k²)x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4,
∴-2<k<2　②
由①②得k∈(-2,-)∪(,2).
(3)由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形,原點O到各邊的距離相等.
當P在y軸上,Q在x軸上時,直線PQ的方程為+=1,由d=1得+=1,
當P不在y軸上時,設直線PS的斜率為k,P(x₁,kx₁),則直線RQ的斜率為-,Q(x₂,-x₂),
由得=+　①
同理=+  ②
在Rt△OPQ中,由d·|PQ|=|OP|·|OQ|,
即|PQ|²=|OP|²·|OQ|².
所以(x₁-x₂)²+(kx₁+)²
=[+(kx₁)²]·[+()²],
化簡得+=1+k²,
k²(+)++=1+k²,
即+=1.
綜上,+=1.
【方法技巧】平面向量在平面解析幾何中的應用
平面向量作為數(shù)學解題的工具,常與平面解析幾何結合綜合考查,主要涉及向量的數(shù)量積、夾角、長度、距離等方面的知識,應用方向主要是平面內點的坐標與對應向量數(shù)量積的轉化,通過數(shù)量積運算尋找等量關系,使問題轉化,從而使問題獲解.