Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，不等式有且只有兩個整數解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減。

（2）

【解析】

（1）對函數求導，根據a的不同范圍，分別求出導函數何時大于零，何時小于零，這樣就可以判斷出函數的單調性。

（2）不等式 可以化成，構造函數，

求導數和單調性，結合條件分別討論，三種情況下，可以求出滿足條件的a的取值范圍。

（1）函數的定義域為

② 當時， 函數在上是減函數；

②當時，，當時，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減。

③當時，，當時，，函數遞減，

當時，，函數單調遞增。

綜上所述：當時，函數在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減；

當時，函數在單調遞增，在單調遞減。

（2）

令，求導得 令

所以是R上的增函數，而

說明函數在R上存在唯一零點

此時函數在上單調遞減，在上單調遞增，

易證，

當時， ，當時，

（1）若時，，此時有無窮多個整數解，不符合題意；

（2）若時，即，因為函數在上單調遞減，在上單調遞增

所以時， ，所以無整數解，不符合題意；

（3）當，即此時， 故0，1是的兩個整數解，

又只有兩個正整數解，因此 ，解得所以

綜上所述的取值范圍為.