Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且對任意實(shí)數(shù)恒有（且）成立.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)， 在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 在上為單調(diào)增函數(shù).

【解析】試題分析：（1） ①，用替換①式中的有： ②，由①②消去即可得結(jié)果；（2）討論兩種情況，分別利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結(jié)論.

試題解析：（1）∵對任意實(shí)數(shù)恒有： ①，

用替換①式中的有： ②，

①×②—②得： ，

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù)，

∴在上為單調(diào)減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù)，

∴在上為單調(diào)增函數(shù).

證明：設(shè)任意且，則

，∵， ，

①當(dāng)時(shí)，則，∴

∴在上是減函數(shù).

②當(dāng)時(shí)，則，∴

∴在上是增函數(shù).

綜上：當(dāng)時(shí)， 在上為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 在上為單調(diào)增函數(shù).