Question

已知拋物線C：y²=4x的準線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點（A在M、B之間）．
（1）F為拋物線C的焦點，若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（2）如果拋物線C上總存在點Q，使得QA⊥QB，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）法一：先求出點M的坐標，再求出|AM|和|AF|利用|AM|=

5

4

|AF|，求出k的值；
法二：利用拋物線的定義把|AF|的長轉化為點A到準線的距離，再利用直線的傾斜角與|AM|和點A到準線的距離之間的關系求k的值；
（2）先把直線方程與拋物線方程聯立消去x，得到關于A、B兩點縱坐標之間的關系式再利用QA⊥QB，找到k的取值范圍．（注意檢驗是否滿足判別式）．

解答：解：（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
設A（x₁，y₁），則|AM|=

1+k2

|x1+1|，（1分）
|AF|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

(x1-1)2+4x1

=|x₁+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4

1+k2

=5，
解得k=±

3

4

（2分）
法二：記A點到準線距離為d，直線l的傾斜角為a，
由拋物線的定義知|AM|=

5

4

d，（2分）
∴cosa=±

d

|AM|

=±

4

5

，
∴k=tana=±

3

4

（3分）
（2）設Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，（1分）
首先由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0
k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y  2 0 4 - y   2 1 4

=

4

y0+y1

，
同理k_QB=

4

y0+y2

（2分）
由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1，（2分）
即：y₀²+y₀（y₁+y₂）+y₁y₂=-16，
∴

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，（2分）
△=(

4

k

)2-80≥0，得-

5

5

≤k≤

5

5

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范圍為[-

5

5

，0）∪（0，

5

5

]（3分）

點評：本題考查拋物線的應用以及直線間的位置關系．在解決圓錐曲線問題時，定義法是比較常用的．