Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線的準線為x=-

p

2

，于是8+

p

2

=10，p=4，由此可知拋物線方程為y²=8x．
（Ⅱ）由題意得B（0，8），M（0，4），kFA=

4

3

，kMN=-

3

4

，直線FA的方程為y=

4

3

(x-2)，直線MN的方程為y=-

3

4

x+4由此可知點N的坐標為(

16

5

，

8

5

)．
（Ⅲ）由題意得，圓M的圓心坐標為（0，4），半徑為4．當m=8時，直線AP的方程為x=8，此時，直線AP與圓M相離；當m≠8時，直線AP的方程為y=

8

8-m

(x-m)，圓心M（0，4）到直線AP的距離d=

|32+4m|

64+(m-8)2

，由此可判斷直線AP與圓M的位置關系．

解答：解：（Ⅰ）拋物線的準線為x=-

p

2

，于是8+

p

2

=10，
∴p=4，∴拋物線方程為y²=8x（4分）
（Ⅱ）∵點A的坐標為（8，8），
由題意得B（0，8），M（0，4），又∵F（2，0），∴kFA=

4

3

（6分）
又MN⊥FA，∴kMN=-

3

4

，則直線FA的方程為y=

4

3

(x-2)，
直線MN的方程為y=-

3

4

x+4（8分）
聯立方程組，解得

x= 16 5 y= 8 5

，∴點N的坐標為(

16

5

，

8

5

)（10分）
（Ⅲ）由題意得，圓M的圓心坐標為（0，4），半徑為4．
當m=8時，直線AP的方程為x=8，此時，直線AP與圓M相離（12分）
當m≠8時，直線AP的方程為y=

8

8-m

(x-m)，
即為8x-（8-m）y-8m=0，所以圓心M（0，4）到直線AP的距離d=

|32+4m|

64+(m-8)2

，
令d＞4，解得m＞2；令d=4，解得m=2；令d＜4，解得m＜2（14分）
綜上所述，當m＞2時，直線AP與圓a+b＞c相離；
當m=2時，直線AP與圓a+b＞c相切；
當m＜2時，直線AP與圓a+b＞c相交．（16分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．