Question

已知拋物線C：y²=8x與點M（-2，2），過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若

MA

•

MB

=0，則k=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：由拋物線C：y²=8x得焦點（2，0），由題意可知：斜率k≠0，設直線AB為my=x-2，其中m=

1

k

．與拋物線的方程聯立可得根與系數的關系，再利用

MA

•

MB

=0即可解出．

解答：解：由拋物線C：y²=8x得焦點（2，0），
由題意可知：斜率k≠0，設直線AB為my=x-2，其中m=

1

k

．
聯立

my=x-2 y2=8x

，得到y²-8my-16=0，△＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．
又

MA

=(x1+2，y1-2)，

MB

=(x2+2，y2-2)，
∴

MA

•

MB

=（x₁+2）（x₂+2）+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁+4）（my₂+4）+（y₁-2）（y₂-2）
=（m²+1）y₁y₂+（4m-2）（y₁+y₂）+20=-16（m²+1）+（4m-2）×8m+20=4（2m-1）²
由4（2m-1）²=0，
解得m=

1

2

．
∴k=

1

m

=2．
故選D

點評：本題綜合考查了拋物線的性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的數量積運算等基礎知識，考查了推理能力、計算能力及分析問題和解決問題的能力．