Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且滿足a₂=3，S₆=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列且滿足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24．設(shè)數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）本題是對數(shù)列的基本量的考查，根據(jù)所給的數(shù)列的一項和前六項的和，用求和公式，得到它的另一項，算出公差和首項，寫出通項公式．
（2）根據(jù)所給的等比數(shù)列的兩個等式，得到等比數(shù)列的首項和公比，寫出通項，題目要求的是兩個數(shù)列的積的形式的前n項和，并且一個數(shù)列是等比，一個是等差，采用錯位相減法．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴S₆=3（a₁+a₆）=3（a₂+a₅）=36．
∵a₂=3，∴a₅=9，∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2，
又∵a₁=a₂-d=1，∴a_n=2n-1．
（2）由等比數(shù)列{b_n}滿足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24，
得

b4+b5

b1+b2

=q³=8，∴q=2，
∵b₁+b₂=3，∴b₁+b₁q=3，∴b₁=1，b_n=2^n-1，
∴a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
則2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減得（1-2）T_n=1×1+2×2+2×2²++2•2^n-2+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，即
-T_n=1+2（2¹+2²++22^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2（2ⁿ-2）-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點評：本題考查等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，若已知等比數(shù)列的兩項，則等比數(shù)列的所有量都可以求出，只要簡單數(shù)字運算時不出錯，問題可解．