Question

【題目】已知函數．

（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；

（2）證明：當時，．

Answer 1

【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)先確定函數的定義域，對函數求導，利用f ′（2）=0，求得a=，從而確定出函數的解析式，之后觀察導函數的解析式，結合極值點的位置，從而得到函數的增區間和減區間；

(2)結合指數函數的值域，可以確定當a≥時，f（x）≥，之后構造新函數g（x）=，利用導數研究函數的單調性，從而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的傳遞性，證得結果.

詳解：（1）f（x）的定義域為，f ′（x）=aex–．

由題設知，f ′（2）=0，所以a=．

從而f（x）=，f ′（x）=．

當0<x<2時，f ′（x）<0；當x>2時，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增．

（2）當a≥時，f（x）≥．

設g（x）=，則

當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．

故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．

因此，當時，．