Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的面積為，過橢圓的右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點垂直于的直線與軸交于點，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，在三角形中由勾股定理列出等式，根據(jù)已知的焦距大小，即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程求點P坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出直線DP的方程，又，根據(jù)兩點間距離公式，即可求得的值.

(1)過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的半徑為，設(shè)右焦點的坐標(biāo)為，依題意知，，又，解得，

∴橢圓的方程為.

(2)設(shè)過橢圓的右焦點的直線的方程為，

將其代入中得，，

設(shè)，則，

∴，

∵為線段的中點，∴點的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，

直線的方程為，

令得，，由點的坐標(biāo)為，

∴,

∴∴，∴.