Question

已知函數f(x)= (x<－2).
(1)求f(x)的反函數f^-－1(x);
(2)設a₁=1, =－f^－-1(a_n)(n∈N^*),求a_n;
(3)設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N^*,有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) y=f^－-1(x)=－ ，(x>0) (2) a_n= ，(3) 存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立

(1)設y=,∵x<－2,∴x=－,
即y=f^－-1(x)=－ (x>0)
(2)∵，
∴{}是公差為4的等差數列，
∵a₁=1,=+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n=.
(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,
設g(n)=,∵g(n)=在n∈N^*上是減函數，
∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立.