Question

已知數列的通項公式是，數列是等差數列，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為．
（1）若，，求數列的通項公式；
（2）若，數列的前5項成等比數列，且，，求滿足
的正整數的個數．

Answer 1

，符合要求的一共有5個

解：（1）若，因為5，6，7 ，則5，6，7，
由此可見，等差數列的公差為1，而3是數列中的項，
所以3只可能是數列中的第1，2，3項，
若，則，若，則，
若，則；
（2）首先對元素2進行分類討論：
①若2是數列的第2項，由的前5項成等比數列，得
，這顯然不可能；
②若2是數列的第3項，由的前5項成等比數列，得，
因為數列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的，
所以，則，因此數列的前5項分別為1，，2，，4，
這樣，
則數列的前9項分別為1，，2，，4，，，，8，
上述數列符合要求；
③若2是數列的第項（），則，
即數列的公差，
所以，1，2，4<，所以1，2，4在數列的
前8項中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項，
它們均小于8，
即數列的前9項均小于8，這與矛盾。
綜上所述，，
其次，當時，，
，，
當時，，因為是公差為的等差數列，
所以，
所以，
此時的不符合要求。所以符合要求的一共有5個