Question

已知函數y=2sin(2x+

π

6

)．
（1）求函數的單調減區間；
（2）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求函數的值域．

Answer 1

分析：（1）由正弦函數的單調區間的公式，解關于x的不等式，即可得到函數的單調減區間；
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，結合正弦函數在[-

π

3

，

2π

3

]上的單調性，求出函數的最大值與最小值，即可得到此時函數的值域．

解答：解：（1）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z），
∴函數的單調減區間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴當2x+

π

6

=-

π

3

時，即x=-

π

4

時，函數y=2sin(2x+

π

6

)的最小值為2sin（-

π

3

）=-

3

；
當2x+

π

6

=

π

2

時即x=

π

6

時，函數y=2sin(2x+

π

6

)的最大值為2sin

π

2

=2．
因此，函數的值域為[-

3

，2]．

點評：本題給出正弦型三角函數的解析式，求函數的單調區間并求閉區間上的值域．著重考查了三角函數的圖象與性質、函數的值域求法等知識，屬于中檔題．