Question

【題目】已知分別是焦距為的橢圓的左、右頂點， 為橢圓上非頂點的點，直線的斜率分別為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線（與軸不重合）過點且與橢圓交于兩點，直線與交于點，試求點的軌跡是否是垂直軸的直線，若是，則求出點的軌跡方程，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可求得，則橢圓的方程為.

(2)由題意分類討論直線斜率存在和斜率不存在兩種情況可得點的軌跡方程為.

試題解析：

（1）設為橢圓上非頂點的點， ，又

，即，

，故橢圓的方程為.

（2）當過點直線斜率不存在時，不妨設，直線的方程是，直線的方程是，交點為.若，由對稱性可知交點為.

點在直線上，

當直線斜率存在時，設的方程為，

由得，

記，則.

的方程是的方程是，

由得，

即

.

綜上所述，點的軌跡方程為.