Question

修建一個面積為平方米的矩形場地的圍墻，要求在前面墻的正中間留一個寬度為2米的出入口，后面墻長度不超過20米，已知后面墻的造價為每米45元，其它墻的造價為每米180元，設后面墻長度為x米，修建此矩形場地圍墻的總費用為元.
（1）求的表達式；
（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.

Answer 1

（1）；（2）若，最小總費用為（元）.，則當時，最小總費用為（元）．  .

試題分析：（1）根據條件可以將所有墻的長度都用含的代數式表示出來，再由墻的造價，即可得到，又由條件后墻長度不超過20米及前墻留一個寬度為2米的出入口，可知；（2）由（1）中所求表達式可知，要求最小費用，即求，而是一個“對鉤”函數，需對的取值范圍分類討論：①，②，從而利用“對鉤”函數的單調性求的最小值.
（1）畫出如下示意圖，由矩形的面積為S，可知與相鄰的邊長為，∴總費用，
顯然，∴；

（2），則，可以證明在遞減，在遞增.
若，即，則當時，最小總費用為（元）.
若，即，則當時，
最小總費用為（元）．