Question

已知函數，若在上的最小值記為.
（1）求；
（2）證明：當時，恒有.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）因為，對實數分類討論，①，②，分別用導數法求函數單調區間，從而確定的值，再用分段函數表示；（2）構造函數，對實數分類討論，①，②，分別用導數法求函數單調區間，從而確定的最大值，即可證明當時恒有成立.
（1）因為，
①當時，
若，則，，故在上是減函數；
若，則，，故在上是增函數；
所以，.
②當，則，，，故在上是減函數，
所以，
綜上所述，.
（2）令，
①當時，，
若，得，所以在上是增函數，所以在上的最大值是，且，所以，
故.
若，，則，所以在上是減函數，
所以在上的最大值是，
令，則，
所以在上是增函數，所以即，
故，
②當時，，所以，得，
此時在上是減函數，因此在上的最大值是，
故，
綜上所述，當時恒有.