Question

已知不等式-2x²+9x-4＞0的解集為A．
（1）求集合A；
（2）對任意的x∈A，都使得不等式a-2x＜

4

2x-1

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）不等式-2x²+9x-4＞0可化為2x²-9x+4＜0，即為（2x-1）（x-4）＜0，解得答案；
（2）不等式a-2x＜

4

2x-1

可化為a＜

4

2x-1

+2x，由（1）中x的范圍，結合基本不等式，可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）不等式-2x²+9x-4＞0可化為2x²-9x+4＜0
即為（2x-1）（x-4）＜0
所以A={x|

1

2

＜x＜4}…（5分）
（2）不等式a-2x＜

4

2x-1

可化為a＜

4

2x-1

+2x…（7分）
因為

1

2

＜x＜4，所以0＜2x-1＜7
所以

4

2x-1

+2x=

4

2x-1

+2x-1+1≥2

4

+1=5…（10分）
（當且僅當x=

3

2

時等號成立）
所以a＜5…（12分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，基本不等式，難度中檔．