Question

【題目】定義在上的函數滿足：對任意的實數，存在非零常數，都有成立.

（1）若函數，求實數和的值；

（2）當時，若， ，求函數在閉區間上的值域；

（3）設函數的值域為，證明：函數為周期函數.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】試題分析：（1）由得， 對恒成立，則，從而可得結果；（2）先根據， ，求出函數在， ， 上的解析式，從而可求得在對應區間上函數值的范圍，綜合可得函數在閉區間上的值域；（3）由函數的值域為得， 的取值集合也為，當時， ，則，即. 由得，則函數是以為周期的函數，同理可得當時，函數是以為周期的函數.

試題解析：（1）由得， 對恒成立，

即對恒成立，則，

即.

（2）當時， ，

當時，即，

由得，則，

當時，即，

由得，則，

當時，即，

由得，

綜上得函數在閉區間上的值域為.

（3）（證法一）由函數的值域為得， 的取值集合也為，

當時， ，則，即.

由得，

則函數是以為周期的函數.

當時， ，則，即.

即，則函數是以為周期的函數.

故滿足條件的函數為周期函數.

（證法二）由函數的值域為得，必存在，使得，

當時，對，有，

對，有，則不可能；

當時，即， ，

由的值域為得，必存在，使得，

仿上證法同樣得也不可能，則必有 ，以下同證法一.