Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣ ，0），B（ ，0），銳角α的終邊與單位圓O交于點P．
（Ⅰ）用α的三角函數表示點P的坐標；
（Ⅱ）當 =﹣ 時，求α的值；
（Ⅲ）在x軸上是否存在定點M，使得| |= | |恒成立？若存在，求出點M的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：銳角α的終邊與單位圓O交于點P．

（Ⅰ）用α的三角函數表示點P的坐標為（cosα，sinα）；

（Ⅱ） ， ， =﹣ 時，

即（cos ）（cos ）+sin2α= ，整理得到cos ，所以銳角α=60°；

（Ⅲ）在x軸上假設存在定點M，設M（x，0）， ，

則由| |= | |恒成立，得到 = ，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，

所以存在x=﹣2時等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．

【解析】（Ⅰ）用α的三角函數的坐標法定義得到P 坐標；（Ⅱ）首先寫成兩個向量的坐標根據 =﹣ ，得到關于α的三角函數等式，求α的值；（Ⅲ）假設存在M（x，0），進行向量的模長運算，得到三角等式，求得成立的x值．