Question

【題目】已知雙曲線C的中心在原點，拋物線的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線過點．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）設直線與雙曲線C交于A，B兩點，試問：k為何值時，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意結合雙曲線過點即可得，由拋物線的焦點可得，即可得解；

（Ⅱ）設，，聯立方程可得，，由可得，代入即可得解.

（Ⅰ）由題意設雙曲線方程為，雙曲線的半焦距為，

把代入得①,

又的焦點是，

∴，

與①聯立，消去可得，解得或（不合題意舍去），

于是，

∴雙曲線方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得雙曲線方程為，∴該雙曲線的漸近線為，

由直線與雙曲線C交于A，B兩點可得，

聯立方程可得，

消去y得，

當即時，l與C有兩個交點A，B，

設，，則，，

因為，故，

，

，

化簡得，∴，檢驗符合條件，

故當時，．