Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題（　　）
①當b≥0時，函數y=f（x）是單調函數；
②當b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；
③函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④方程f（x）=0至多有3 個實根，其中正確命題的個數為．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①去掉其絕對值符號，判斷出其在每一段內都單調且連續即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其絕對值符號，解對應方程即可得結論．
③利用g（x）=x|x|+bx關于（0，0）對稱，和g（x）=x|x|+bx與y=f（x）的關系可得結論．
④對于b，c分各種情況來討論，并求出對應方程的根，可下結論．

解答：解：因為f（x）=x|x|+bx+c=

x2+bx+c x≥0 -x2+bx+c x＜0

，
對于①當x≥0時，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）遞增，當x＜0時，f'（x）＞0，所以y=f（x）遞增又y=f（0）=c連續．故當b≥0時，函數y=f（x）是單調函數； ①對．
對于②因為f（x）=

x2+c x≥0 -x2+c x＜0

當x≥0時無根，當x＜0時，有一根x=-

c

．故當b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；②對．
對于③設g（x）=x|x|+bx，因為g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關于（0，0）對稱，又函數y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個單位得到．故函數y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；故③對．
對于④分各種情況來討論b，c，并求出對應方程的根，就可說明④成立．故④對．
故選  D．

點評：本題是對帶絕對值的二次函數的綜合考查．通常帶絕對值的函數研究其性質時，要去掉其絕對值符號進行．