Question

已知函數f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1
（1）求函數f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且c=

7

，f（C）=0，若向量

m

=(1， sinA)與向量

n

=(3，sinB)共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角的余弦函數以及兩角和與差的正弦函數，求出函數的最小值，求出函數的周期即可．
（2）通過向量的共線以及正弦定理求出a，b的關系，通過f（c）=0求出C的大小，結合余弦定理即可求解a，b的值．

解答：解：（1）函數f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

(cos2x-sin2x)-1
=sin（2x-

π

6

）-1…（3分）
∴當2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z時，函數取得最小值：-2，
 最小正周期 T=π…（7分）
（2）因為向量

m

=(1， sinA)與向量

n

=(3，sinB)共線，所以sinB=3sinA，∴b=3a，
f（C）=0=sin（2C-

π

6

）-1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

即C=

π

3

．…（10分）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
解得a=1，b=3．…（14分）

點評：本題考查二倍角公式的應用，兩角和的正弦函數，正弦定理以及余弦定理的應用，考查計算能力．