Question

已知函數f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）當x∈[1，4]時，求函數h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(

x

)＞k•g(x)恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用配方法化簡函數，根據函數的定義域，即確定函數的值域；
（2）利用換元法化簡函數，再對新變元分類討論，同時結合分離參數法，利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）h(x)=(4-2log2x)•log2x=-2(log2x-1)2+2…（2分）
因為x∈[1，4]，所以log₂x∈[0，2]，…（4分）
故函數h（x）的值域為[0，2]…（6分）
（2）由f(x2)•f(

x

)＞k•g(x)得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x
令t=log₂x，因為x∈[1，4]，所以t=log₂x∈[0，2]
所以（3-4t）（3-t）＞k•t對一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）
1°當t=0時，k∈R；…（9分）
2°當t∈（0，2]時，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15…（11分）
因為4t+

9

t

≥12，當且僅當4t=

9

t

，即t=

3

2

時取等號…（12分）
所以4t+

9

t

-15的最小值為-3…（13分）
綜上，k∈（-∞，-3）…（14分）

點評：本題考查函數的值域，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，利用基本不等式求最值．