Question

【題目】銳角△ABC中，其內(nèi)角A，B滿足：2cosA=sinB﹣ cosB．
（1）求角C的大小；
（2）D為AB的中點(diǎn)，CD=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2cosA+ cosB=sinB，可得：cosA= sinB﹣ cosB=cos（ ﹣B），

又∵A，B為銳角，

∴0 ， ＜ ﹣B＜ ，

∴A= ﹣B，A+B= ，可得：C=π﹣ =

（2）解：設(shè)∠ACD=α，延長(zhǎng)CD到E，使CD=DE，

則AEBC為平行四邊形，

在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE= ，∠AEC= ﹣α，

由正弦定理可得： = = ，

所以，a=4sinα，b=4sin（ ﹣α），

S△ABC= absin∠ABC= sin

=4sinαsin（ ﹣α）=2sinαcosα﹣2 sin2α

=sin2α+ cos2α﹣ =2sin（2α+ ）﹣ ，

當(dāng)α= 時(shí)，△ABC的面積取得最大值，最大值為2﹣ ．

【解析】（1）由已知利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的正弦函數(shù)公式可得cosA=cos（ ﹣B），結(jié)合A，B為銳角，利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值．（2）設(shè)∠ACD=α，延長(zhǎng)CD到E，使CD=DE，則AEBC為平行四邊形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（ ﹣α），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得S△ABC=2sin（2α+ ）﹣ ，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求△ABC面積的最大值．