Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的一個頂點為B（0，4），離心率e= ，直線l交橢圓于M，N兩點．
（1）若直線l的方程為y=x﹣4，求弦MN的長；
（2）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知橢圓 （a＞b＞0）的一個頂點為B（0，4），

∴b=4，

又∵離心率e= ，

即 ，

∴ ，解得a2=20，

∴橢圓方程為 ；

由4x2+5y2=80與y=x﹣4聯立，

消去y得9x2﹣40x=0，

∴x1=0， ，

∴所求弦長

（2）

解：橢圓右焦點F的坐標為（2，0），

設線段MN的中點為Q（x0，y0），

由三角形重心的性質知 ，又B（0，4），

∴（2．﹣4）=2（x0﹣2，y0），

故得x0=3，y0=﹣2，

求得Q的坐標為（3，﹣2）；

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=6，y1+y2=﹣4，

且 ，

以上兩式相減得 ，

∴ ，

故直線MN的方程為 ，即6x﹣5y﹣28=0．

【解析】（1）由已知中橢圓 （a＞b＞0）的一個頂點為B（0，4），離心率e= ，根據e= ，b=4，a2=b2+c2可求出橢圓的標準方程，進而求直線l的方程及弦長公式，得到弦MN的長；（2）設線段MN的中點為Q（x0 ， y0），結合（1）中結論，及△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，由重心坐標公式，可得Q點坐標，由中點公式及M，N也在橢圓上，求出MN的斜率，可得直線l方程．