Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．
（Ⅰ）求四面體D₁-AB₁C的左視圖的面積；
（Ⅱ）求四面體D₁-AB₁C的體積．

Answer 1

考點：簡單空間圖形的三視圖,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）分別作點A，D₁在平面BCC₁B₁內的投影，即得左視圖，從而得其面積；
（2）將四面體D₁-AB₁C看作是一個三棱錐，把正方體的體積分割成五部分，所求體積為正方體體積與四個三棱錐的體積之差．

解答： 解：（Ⅰ）點D₁在平面BCC₁B₁內的投影為點C₁，點A在平面BCC₁B₁內的投影為點B，
所以四面體D₁-AB₁C的左視圖是一個與正方形BCC₁B₁全等的正方形，其面積為1．  
（Ⅱ）∵VB-B1AC=VA1-AB1D1=VD-D1AC=VC1-B1D1C=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，
∴四面體D₁-AB₁C的體積為VD1-AB1C=VABCD-A1B1C1D1-4VB-B1AC=13-4×

1

6

=

1

3

．

點評：本題考查學生的空間想象力與化歸思想的運用，三棱錐（或四面體）的體積計算公式，體積分割法處理體積問題等，題目較容易．平時應掌握一些常見的幾何模型，如三棱錐（或四面體）、正方體的特征，體積與面積的計算方法等．