Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），若g（x）≤0對(duì)一切x∈（0，2]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．由f′（2）=0，得a=1．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅱ）由題設(shè)，g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x．由ax³+3（a-1）x²-6x≤0對(duì)一切x∈（0，2]都成立，令φ（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，則a≤φ（x）_min由φ′（x）=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，可知φ（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上單調(diào)遞減，從而φ（x）_min=φ（2）=

6

5

，靜兒求出a的取值范圍是（-∞，

6

5

]．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）=0，即6（2a-2）=0，
∴a=1．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=1時(shí)，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅱ）由題設(shè)，g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x．
ax³+3（a-1）x²-6x≤0對(duì)一切x∈（0，2]都成立，
即a≤

3x+6

x2+3x

對(duì)一切x∈（0，2]都成立．
令φ（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，則a≤φ（x）_min
由φ′（x）=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，
可知φ（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上單調(diào)遞減，
∴φ（x）_min=φ（2）=

6

5

，
故a的取值范圍是（-∞，

6

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值，最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．