Question

（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內的三個點，且A與B不重合，P是平面內任意一點，若點C在直線AB上，試證明：存在實數λ，使得：．
（Ⅱ）如圖2，設G為△ABC的重心，PQ過G點且與AB、AC（或其延長線）分別交于P，Q點，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ使得：，變形，可得結論；
（II）連結AG，利用G為△ABC的重心，結合（I）的結論即可得到結論．
解答：（Ⅰ）證明：由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ使得：，…（2分）
即…（4分）
化簡為
結論得證．…（6分）
（Ⅱ）解：連結AG，因為G為△ABC的重心，
所以：…（8分）
又因為，
所以…（10分）
由（Ⅰ）知：所以為定值．…（12分）
點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的共線，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．