Question

（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內的三個點，且A與B不重合，P是平面內任意一點，若點C在直線AB上，試證明：存在實數λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如圖2，設G為△ABC的重心，PQ過G點且與AB、AC（或其延長線）分別交于P，Q點，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，試探究：

1

m

+

1

n

的值是否為定值，若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ使得：

BC

=λ

BA

，變形，可得結論；
（II）連結AG，利用G為△ABC的重心，結合（I）的結論即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ使得：

BC

=λ

BA

，…（2分）
即

PC

-

PB

=λ(

PA

-

PB

)…（4分）
化簡為

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

結論得證．…（6分）
（Ⅱ）解：連結AG，因為G為△ABC的重心，
所以：

AG

=

2

3

•

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

AB

+

1

3

AC

…（8分）
又因為

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

所以

AG

=

1

3

AB

+

1

3

AC

=

1

3m

AP

+

1

3n

AQ

…（10分）
由（Ⅰ）知：

1

3m

+

1

3n

=1所以

1

m

+

1

n

=3為定值．…（12分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的共線，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．