Question

【題目】對于定義域為D的函數，如果存在區間，同時滿足：①在內是單調函數；②當定義域是時，的值域也是．則稱是該函數的“和諧區間”．

（1）證明：是函數=的一個“和諧區間”．

（2）求證：函數不存在“和諧區間”．

（3）已知：函數（R，）有“和諧區間” ，當變化時，求出的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用和諧區間的定義推證；(2)借助題設運用和諧區間的定義推證；(3)運用和諧區間的定義將其轉化為二次方程有根的問題探求.

試題解析：

（1）因在區間上單調遞增． 又因為，所以值域為，

所以區間是的一個“和諧區間”．

（2）設是已知函數定義域的子集．因，或，

故函數在上單調遞增． 若是已知函數的“和諧區間”，則

故是方程的同號的相異實數根．

因無實數根， 故函數不存在“和諧區間”．

（3）設是已知函數定義域的子集．因，或，

故函數在上單調遞增．

若是已知函數的“和諧區間”，則

故是方程，即的同號的相異實數根．

∵，∴同號，只須,并解得不等式的解集為或，

已知函數有“和諧區間” ， ∵，

∴當時，取最大值