Question

設函數f（x）=|x-1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果關于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=-1時，可得|x-1|+|x+1|≥3，分①當x≤-1時，②當-1＜x＜1時，③當x≥1時，分別求出解集，再取并集即得
所求．
（Ⅱ）由題意可得 f（x）_min≤2，由絕對值的意義可得f（x）_min=|a-1|，故有|a-1|≤2，由此求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=|x-1|+|x+1|． 由f（x）≥3得，|x-1|+|x+1|≥3．
①當x≤-1時，不等式化為1-x-1-x≥3，即x≤-

3

2

．
所以，原不等式的解為x≤-

3

2

．（1分）
②當-1＜x＜1時，不等式化為1-x+1+x≥3，即2≥3．
所以，原不等式無解．（2分）
③當x≥1時，不等式化為-1+x+1+x≥3，即x≥

3

2

．
所以，原不等式的解為x≥

3

2

．（3分）
綜上，原不等式的解為(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．（4分）
（Ⅱ）因為關于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）_min≤2．（5分）
因為|x-1|+|x-a|表示數軸上的點到x=1與x=a兩點的距離之和，
所以，f（x）_min=|a-1|．（6分）  
∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．
所以，a的取值范圍為[-1，3]．（7分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．