Question

【題目】函數在處的切線與直線平行.

（1）求實數；

（2）求函數的單調區間；

（3）設，當時， 恒成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 單調遞增區間為 (3)3

【解析】試題分析：（1）先求導，根據導數的幾何意義即可求出a的值;

（2）利用導數研究單調性,即可得出函數的單調區間；

（3）x＞1時，g（x）＞k（x-1）恒成立，轉化為，在（1，+∞）恒成立，構造函數h（x）=，，x∈（1，+∞），利用導數和不可解零點返代即可求出，所以，因為，所以整數值的最大值即為得解.

試題解析：

（1）設在處切線斜率為，由題意知： .

又,

∴，∴, .

（2）由（1）知

，

.

當， ， 單調遞增，

當， ， 單調遞減，

當， ， 單調遞增，

當,， 單調遞減,

綜上，函數的單調遞增區間為.單調減區間為;

（3）， ，即,

令,,

記， ， 在單調遞增，

而， ，

故必有，有,且，

所以當， ， ,

在單調遞減，在單調遞減，

，

，因為，所以整數值的最大值為3.