Question

（本小題滿分12分）

設函數

（1）當時，求的最大值；

（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當，，方程有唯一實數解，求正數的值.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）≥

（3）

【解析】解：（1）依題意，知的定義域為（0，+∞），

當時，，

（2′）

令=0，解得.（∵）

因為有唯一解，所以，當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減。

所以的極大值為，此即為最大值………4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當時，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，

設，則.

令，.

因為，，

所以（舍去），

    ，

    當時，，在（0，）上單調遞減，

    當時，，在（，+∞）單調遞增

    當時，=0，取最小值.（12′）

    則既

所以，因為，所以（*）

設函數，因為當時，是增函數，所以至多有一解.

因為，所以方程（*）的解為，

即，解得.…12分