Question

如圖，正方體AC₁的棱長為1，過點A作平面A₁BD的垂線，垂足為點H．有下列四個命題：

 

A．點H是△A₁BD的垂心；
B．AH垂直平面CB₁D₁；
C．二面角C-B₁D₁-C₁的正切值為

2

；
D．點H到平面A₁B₁C₁D₁的距離為

3

4

其中真命題的代號是．（寫出所有真命題的代號）

Answer 1

分析：結合正方體圖形，逐一判斷選項，求得結果即可．

解答：解：因為三棱錐A-A₁BD是正三棱錐，故頂點A在底面的射映是底面中心，A正確；
面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，B正確；
連接A₁C₁∩B₁D₁=O?∠COC₁即為二面角C-B₁D₁-C₁的平面角，tanα=

1

2 2

=

2

，C正確；
對于D，連接AC₁，?AC₁⊥面A₁BD，故點H是AC₁
的三等分點，故點H到平面A₁B₁C₁D₁的距離為

2

3

×AA1=

2

3

．從而D錯．
則應填ABC．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角及其度量等知識，考查空間想象能力，是基礎題．