Question

如圖，正方體AC₁的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（　　）

A．直線AH和BB₁所成角為45°

B．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)C₁

C．AH垂直平面CB₁D₁

D．點(diǎn)H是△A₁BD的垂心

Answer 1

分析：利用直線AH和BB₁所成角等于直線AH和AA₁所成角，可得結(jié)論；連接正方體的體對(duì)角線AC₁，則它在各面上的射影分別垂直于BD、A₁B、A₁D等，所以AC₁⊥平面A₁BD，則直線A₁C與AH重合；面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁；因?yàn)槿�棱錐A-A₁BD是正三棱錐，所以頂點(diǎn)A在底面的射影H是底面中心，故可得結(jié)論．

解答：解：直線AH和BB₁所成角等于直線AH和AA₁所成角，由于AA₁=1，HA₁=

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，∴直線AH和BB₁所成角不等于45°，故A錯(cuò)誤；
連接正方體的體對(duì)角線AC₁，則它在各面上的射影分別垂直于BD、A₁B、A₁D等，所以AC₁⊥平面A₁BD，則直線A₁C與AH重合，所以選項(xiàng)B正確；
面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，所以選項(xiàng)C正確；
因?yàn)槿�棱錐A-A1BD是正三棱錐，所以頂點(diǎn)A在底面的射影H是底面中心，所以選項(xiàng)D正確；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假判斷，考查正方體的性質(zhì)，屬于中檔題．