Question

(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分,第3小題滿分2分. 
設直線交橢圓于兩點，交直線于點．
（1）若為的中點，求證:；
（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請你類比橢圓中（1）、（2）的結論，寫出雙曲線中類似性質的結論（不必證明）．

Answer 1

（1）設， 
 ，
又
（2）逆命題：設直線交橢圓于兩點，交直線于點．若，則為的中點．
證明：由方程組
因為直線交橢圓于兩點，
所以，即，設、、
則 ， 
又因為，所以
，故E為CD的中點．
（3）為中點的充要條件是．

試題分析：（1）解法一：設
 
 ，
又
解法二（點差法）：設
，
兩式相減得
即 

 
（2）逆命題：設直線交橢圓于兩點，交直線于點．若，則為的中點．
證法一：由方程組
因為直線交橢圓于兩點，
所以，即，設、、
則 ， 
又因為，所以
，故E為CD的中點．
證法二：設
則，
兩式相減得
即 
又，即

得，即為的中點．
（3）設直線交雙曲線于兩點，交直線于點．則為中點的充要條件是．
點評：求過定點的圓錐曲線的中點弦問題，通常有下面兩種方法：（1）點差法，即設出弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程后相減，得到弦中點坐標與弦所在直線斜率的關系，從而求出直線方程．（2）聯立法，即將直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理與判別式求解．