Question

【題目】如圖①，在五邊形中，，，，，將沿折起到的位置，得到如圖②所示的四棱錐，為線段的中點，且平面.

（1）求證：平面.

（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，又為的中點，得到四邊形為平行四邊形，從而應用線面平行的判定定理證得結果.

（2），可得為直線與所成的角，可得，，設，則，，取的中點O，連接PO，過O作AB的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，設為平面PBD的法向量，則，利用，即可得出.

（1）證明：取的中點，連接，.

又為的中點，所以，.

又，，所以，.

則四邊形為平行四邊形，所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）解：因為平面，，

所以平面，所以，.

由，即及為的中點，可得為等邊三角形，所以.

又，所以，即.

因為平面，平面，，所以平面.

又平面，所以平面平面.

因為，所以即為直線與所成的角，

所以，所以.

設，則，.

取的中點，連接，過作交于點，則，，兩兩垂直.

以為坐標原點，，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，，，，所以.

所以，，.

設平面的法向量為，

則，

令，則.

因為.

所以直線與平面所成角的正弦值為.