Question

已知函數f(x)=lnx+

a

x+1

(a∈R)．
（1）當a=

9

2

時，如果函數g（x）=f（x）-k僅有一個零點，求實數k的取值范圍；
（2）當a=2時，試比較f（x）與1的大小；
（3）求證：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用函數f（x）的導數求出它的單調區間和極值，由題意知 k大于f（x）的極大值，或 k小于f（x）的極小值．
（2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數，利用h（1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、當x=1三種情況進行討論．
（3）根據（2）的結論，當x＞1時，lnx＞

x-1

x+1

，令x=

k+1

k

，有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，可得

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

，由 ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，證得結論．

解答：解：（1）當a=

9

2

時，f(x)=lnx+

9

2(x+1)

，定義域是（0，+∞），
 求得f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

，令f'（x）=0，得x=

1

2

，或x=2．
∵當0＜x＜

1

2

或x＞2時，f'（x）＞0； 當

1

2

＜x＜2時，f'（x）＜0，
∴函數f（x）在（0，

1

2

]、（2，+∞）上單調遞增，在(

1

2

， 2)上單調遞減．
∴f（x）的極大值是 f(

1

2

)=3-ln2，極小值是 f(2)=

3

2

+ln2．
∵當x趨于 0時，f（x）趨于-∞；當x趨于+∞時，f（x）趨于+∞，
由于當g（x）僅有一個零點時，函數f（x）的圖象和直線y=k僅有一個交點，
k的取值范圍是{k|k＞3-ln2，或k＜

3

2

+ln2}．
（2）當a=2時，f(x)=lnx+

2

x+1

，定義域為（0，+∞）．
令h(x)=f(x)-1=lnx+

2

x+1

-1，∵h′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數．  ①當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②當0＜x＜1時，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；  ③當x=1時，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）證明：根據（2）的結論，當x＞1時，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

．
令x=

k+1

k

，則有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，∴

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

．
∵ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，∴ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

++

1

2n+1

．

點評：本題主要考查函數導數運算法則、利用導數求函數的極值、證明不等式等基礎知識，考查分類討論思想和數形結合思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力和創新意識，屬于中檔題．